Чи має функція приватні похідні

Приватні похідні у вищій математиці використовуються для вирішення завдань з функціями багатьох змінних, наприклад, при знаходженні повного диференціала і екстремумів функції. Щоб дізнатися, чи має функція приватні похідні, потрібно продиференціювати функцію одного аргументу, вважаючи інші аргументи постійними, і виконати аналогічне диференціювання по кожному аргументу.

Основні положення приватних похідних

Частинною похідною по x функції g = f(x,y) в точці C(x0,y0) називається межа відносини приватного прирощення по x функції в точці C до приросту ∆x при прагненні ∆x до нуля.

Також це можна показати наступним чином: якщо одному з аргументів функції g = f(x,y) надати прирощення, а інший аргумент не змінювати, то функція отримає приватне прирощення по одному з аргументів: Δyg=f(x,y+Δy)-f(x,y) – це приватне приріст функції g по аргументу у; Δxg=f(x+Δx,y)-f(x,y) – це приватне приріст функції g по аргументу x.

Правила знаходження приватної похідної для f(x,y) точно такі ж, як і для функції однієї змінної. Тільки в момент визначення похідної одну із змінних потрібно вважати в момент диференціювання постійним числом – константою.

Приватні похідні функції двох змінних g (x,y) записуються у наступному вигляді gx’, gy’ і знаходяться за такими формулами:

Для приватних похідних першого порядку:

gx’=∂g∂x,

gy’=∂g∂y.

Для приватних похідних другого порядку:

gxx»=∂2g∂x∂x,

gyy»=∂2g∂y∂y.

Для змішаних частинних похідних:

gxy»=∂2g∂x∂y,

gyx»=∂2g∂y∂x.

Так як приватна похідна – це похідна функції однієї змінної, коли значення іншої змінної фіксовано, то обчислення її відбувається за тими ж правилами, що і обчислення похідних функцій однієї змінної. Тому для приватних похідних справедливі всі основні правила диференціювання таблиця похідних елементарних функцій.

Частинними похідними 2-го порядку функції g=f(x1,x2,…,xn) називаються частинні похідні від її частинних похідних першого порядку.

Приклади рішень приватних похідних

Приклад 1

Знайти приватні похідні 1-го порядку від функції g(x,y)=x2−y2+4xy+10

Рішення

Для знаходження приватної похідною по x будемо вважати y постійною величиною:

gy’=(x2−y2+4xy+10)’=2х−0+4у+0=2х+4у.

Для знаходження приватної похідною функції y визначимо х константою:

gy’=(x2−y2+4xy+10)’=−2y+4x.

Відповідь: приватні похідні gx’=2x+4y; gy’=−2y+4x.

Приклад 2.

Знайти приватні похідні 1-го і 2-го порядків від заданої функції:

z=x5+y5−7x3y3.

Рішення.

Приватні похідні 1-го порядку:

z ‘ x=(x5+y5−7x3y3)’x=7×4−15x2y3;

z ‘ y=(x5+y5−7x3y3)’y=7y4−15x3y2.

Приватні похідні 2-го порядку:

z ‘ xx=(7×4−15x2y3)’x=28×3−30xy3;

z ‘ xy=(7×4−15x2y3)’y=−45x2y2;

z ‘ yy=(7y4−15x3y2)’y=28y3−30x3y;

z ‘ yx=(7y4−15x3y2)’x=−45x2y2.