Чи можна ділити на 0 у вищій математиці

Математика – це наука, яка спочатку ставить заборони та обмеження, а потім сама їх порушує. Зокрема, почавши вивчення вищої алгебри у Вузі, вчорашні школярі з подивом дізнаються, що не все так однозначно в питаннях добування квадратного кореня з від’ємного числа або ділення на нуль.

Шкільна алгебра і ділення на нуль

У курсі шкільної арифметики всі математичні операції проводяться з речовими числами. Безліч цих чисел (або безперервне упорядковане поле) має ряд властивостей (аксіом): комутативність і асоціативність множення і додавання, існування нуля, одиниці, протилежного і зворотного елементів. Також аксіоми порядку та безперервності, що застосовуються для порівняльного аналізу дозволяють визначити усі властивості дійсних чисел.

Оскільки поділ є операцією, зворотною множення, ділення на нуль дійсних чисел неминуче виникнення двох нерозв’язних проблем. По-перше, перевірка результату ділення на нуль за допомогою множення не має числового виразу. Яким би числом не було приватне, якщо його помножити на нуль, ділене отримати неможливо. По-друге, у прикладі 0:0 відповіддю може служити абсолютно будь-яке число, яке при перемножении з дільником завжди звертається в нуль.

Ділення на нуль у вищій математиці

Перераховані труднощі ділення на нуль призвели до накладення табу на цю операцію, принаймні, в рамках шкільного курсу. Однак у вищій математиці знаходять можливості обійти цю заборону.

Наприклад, за рахунок побудови інший алгебраїчної структури, відмінної від знайомої всім числової прямої. Прикладом такої структури є колесо. Тут існують свої закони і правила. Зокрема, поділ не прив’язане до множенню і перетворюється з бінарної операції (з двома аргументами) в унарную (з одним аргументом), позначається символом /х.

Розширення поля дійсних чисел відбувається за рахунок введення гиперреальных чисел, яке охоплює нескінченно великі і нескінченно малі величини. Такий підхід дозволяє розглядати термін «нескінченність» як якесь число. Причому це число при розширенні числової прямої втрачає свій знак, перетворюючись в ідеалізовану точку, що сполучає два кінці цієї прямої. Такий підхід можна порівняти з лінією зміни дат, коли при переході між двома часовими поясами UTC+12 UTC-12 можна опинитися в наступному дні або ж у попередньому. При цьому стає вірним твердження х/0=∞ для будь-яких х≠0.

Щоб усунути невизначеність 0/0, для колеса вводиться новий елемент ⏊=0/0. При цьому в даній алгебраїчної структурі є свої нюанси: 0·х≠0; х-х≠0 в загальному випадку. Також х·/х≠1, оскільки ділення і множення більше не вважаються зворотними операціями. Але дані особливості колеса добре пояснюються за допомогою тотожностей дистрибутивного закону, чинного в такий алгебраїчної структурі декілька інакше. Більш докладні роз’яснення можна знайти в спеціалізованій літературі.

Алгебра, до якої всі звикли, є, по суті, окремим випадком більш складних систем, наприклад, того ж колеса. Як бачимо, ділити на нуль не у вищій математиці можна. Для цього потрібно вийти за межі звичних уявлень про числа, алгебраїчні операції та закони, яким вони підпорядковуються. Хоча це цілком природний процес, який супроводжує будь-пошук нових знань.