Які фізичний і геометричний зміст похідної

Однією з головних тем в шкільній програмі є диференціювання або, кажучи більш зрозумілою мовою, похідна функції. Зазвичай учневі важко зрозуміти, що таке похідна і який її фізичний зміст. Відповідь на це питання можна отримати, якщо вникнути у фізичний і геометричний зміст похідної. У цьому випадку, млява формулювання набуває очевидний сенс навіть для гуманітарія.

У будь-якому підручнику ви зустрінете визначення, що похідна – це відношення приросту функції до приросту аргументу, при умови що прагне до нуля прирощення аргументу. Говорячи більш зрозумілою і простою мовою, слово прирощення можна сміливо замінити терміном зміна. Поняття прагнення до нуля аргументу варто було б роз’яснювати учневі після проходження поняття «межа». Однак, частіше всього ці формулювання зустрічаються набагато раніше. Для розуміння терміну «прагне до нуля» потрібно уявити собі мізерно малу величину, яка настільки мала, що це неможливо записати математично.

Подібне визначення здається учневі заплутаним. Для спрощення формулювання, потрібно вникнути в фізичний зміст похідної. Згадайте будь-який фізичний процес. Наприклад, рух автомобіля по ділянці дороги. Зі шкільного курсу фізики відомо, що швидкість цього автомобіля є відношення пройденого відстані до часу, за який воно пройдено. Але подібним чином неможливо визначити миттєву швидкість автомобіля в конкретний момент часу. При виконанні ділення виходить середня швидкість на всьому ділянці шляху. Той факт, що десь автомобіль стояв на світлофорі, а де-то їхав під гору з більшою швидкістю не враховується.

Цю складну задачу дозволяє вирішити похідна. Функція руху автомобіля представляється у вигляді нескінченно малих (або коротких) інтервалів часу, на кожному з яких можна застосувати диференціювання і дізнатися зміна функції. Саме тому, визначення похідної є згадка про нескінченно мале прирощення аргументу. Таким чином, фізичний зміст похідної полягає в тому, що це швидкість зміни функції. Продифференцировав функцію швидкості по часу можна одержати значення швидкості автомобіля в конкретний момент часу. Це розуміння корисно при вивченні будь-якого процесу. Адже в реальному навколишньому світі немає ідеальних правильних залежностей.

Дивіться також:  Пять унікальних кіл трикутника

Якщо ж говорити про геометричний зміст похідної, то досить уявити собі графік будь-якої функції, яка не є прямолінійною залежністю. Наприклад, гілка параболи або будь-яку неправильну криву. До цієї кривої завжди можна провести дотичну, а точка перетину дотичної та графіка і будуть шуканим значенням функції в точці. Кут, під яким проведена ця дотична до осі абсцис і визначає похідна. Таким чином, геометричний зміст похідної – це кут нахилу дотичної до графіка функції.

 

Відео по темі